和式-技巧

指标变量的取值

对于一个和式，一个好的建议是尽可能保证求和指标简单，同时不要吝啬加上值为 0的项。 $\sum _{k=0}^{k=n}{k}^2$ 比起 $\sum _{k=1}^{k=n}{k}^2$ 更像是一个好主意（我在下一篇文章中提到 扰动法时会用到这一点）

谁是系数

在上一次提到成套方法时，我们给出了求解形如 $S_n=S_{n-1}+\beta n+\gamma$ 的递归式的解。仅仅是要 注意，在我们最终写成的 $S_n=A(n)\alpha +B(n)\beta +C(n)\gamma$ 形式中，$A(n),B(n),C(n)$ 是系数，但在递归式中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 才是 系数。

为什么能写成一般形式

不加以证明，但是这可以引出来另一个相关的问题。

我们在上一篇文章中通过直接用 n 的简单函数替换 $S_n$ 来求出对应参数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 的值。

考虑如下的递归式（看起来似乎比上次的简单？）

$$S_0=\alpha$$ $$S_{2j}=S_{2j-1}+\beta$$ $$S_{2j+1}=S_{2j}+\gamma$$

其中 j 是正整数。
如果我们仍然利用之前的方法试图 仅仅 通过用 n 的简单 函数替换 S 来求取递归式中参数的取值进而得出它的一般表示（我们之后会 [不严格地]说明原因）$S_n=A(n)\alpha +B(n)\beta +C(n)\gamma$ 中系数的表达式时，我们会遇到困难：对 B(n) 和 C(n) 我们只能得到 $B(n)+C(n)=n$ （这当然是成立的）。当我们试图用 $n^2$ 替换 $S_n$ 时，我们得到了不相容的方程。

原因（个人感性地理解）是这个递归式无法拟合一个二次函数。

观察更一般的情况，如果一个递归式形如 $S_n=S_{n-1}+P(n)$， 其中 P(n) 是 n 的多项式函数，我们可以将它对应的和式形式 $\sum _{k=1}^{n}P(k)$ 近似地看作一个定积分（使用有限积分可以 消除这个近似，但是此时我不会没有必要）。那么 $\mathrm{\Phi }(x)={\int }_1^{n}P(t)dt$ 就是这个积分，是和式的封闭形式，事实上 这个积分是一个恰好比 P(k) 高一次的多项式函数。

很显然，对于上面提到的例子，一个一次函数无法拟合二次函数，那么就会产生不相容 的方程。对于这个题目而言，我们需要通过猜启发式的不严格方法以及数学归纳法 来得出 B(n) C(n) 中的一者，进而求出另一者。